\documentclass[11pt]{article}

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\begin{document}

% ========== Edit your name here
\author{eleve11}
\title{Start--Numerical Optimizaion}
\maketitle

\medskip

% ========== Begin answering questions here
\begin{enumerate}

\item
一个简单的线性优化问题:

一个化学公司有两家制造工厂$F_1$、$F_2$，以及12个零售点$R_1, R_2, \ldots, R_{12}$，每个工厂每周可以生产$a_i$吨的化学制品，每个零售店每周有$b_i$吨的的需求，从工厂$F_i$到零售点$R_i$的运输费用是$c_{ij}$，如何最小化需求花费，问题的变量是从工厂$F_i$到零售点$R_i$的运输吨数$x_{ij}$
\begin{equation}
  \min \sum_{ij} c_{ij}x_{ij}
\end{equation}
\begin{equation}
  s.t. \sum_{j=1}^{12}x_{ij} \leq a_{i}, \quad i=1,2
\end{equation}
\begin{equation}
  \sum_{i=1}^{2}x_{ij} \geq b_{j}, \quad j=1, 2, \ldots, 12
\end{equation}
\begin{equation}
  x_{ij} \geq 0, \quad i=1, 2 \quad j=1, 2, \ldots, 12
\end{equation}
从上面的问题以及实际应用中知道，大多数的优化问题来自对实际的问题进行建模，在应用优化算法求得最优解。

\item
连续型与离散型优化

相比离散型优化问题，我觉得连续型优化问题更友好，连续代表着能知道整个优化问题的趋势，而离散型优化的方向似乎并不明显，例如在解决离散型数据时，会先考虑用一个连续的函数去拟合数据，或用方法将数据依据几何位置进行分块来以示不同。

\item
有约束型与无约束优化

就像前面所述的线性优化问题栗子就是一个典型的有约束优化问题。当优化函数与约束条件都是线性函数时优化问题即为线性优化问题。大多数现实问题都带有约束，例如经济和管理的一些问题中。无约束优化问题更像是有约束优化问题的特例。

\item
全局型与局部型优化

对于许多算法优化过程中，大多数得到的是局部最优解，而不会全局最优解，大多数问题并不会像凸优化问题那样局部最优解即全局最优解。

\item
优化算法

优化算法始终是迭代的，每一次迭代去估计最优解，大多数策略使用目标函数$f(x)$的值，约束函数以及可能的这些函数的一阶和二阶导数。一些算法累积在先前迭代处收集的信息，而其他算法仅使用在当前点处获得的本地信息。无论这些具体细节如何，优秀的算法应具备以下特性：

1. Robustness

2. Efficiency

3. Accuracy

可能三个条件会出现冲突。

\end{enumerate}

\end{document}
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